Arithmétisation et polysémie


Dans ses fameux articles de 1931 et 1934 Kurt Goedel élabore une méthode fondée sur les nombres premiers afin de réaliser une formulation arithmétique d'un système de logique mathématique donné (en particulier un sous-système récursif issu des Principia Mathematica de Alfred North Whitehead et Bertrand Russel) qui lui permet ensuite d'inférer l'existence de propositions indécidables au sein de toute théorie élémentaire des nombres (théorème d'incomplétude).

Pour représenter les variables de classes de différents types, l'article de 1931 invite à les remplacer par des nombres premiers (p) à partir de 17, portés à la puissance de leurs types (pn). Les autres nombres premiers sont réservés aux symboles logiques nécessaires comme la disjonction 'ou' (7) et la fonction 'f' de successeur (3). Hors les symboles admis et transcrits en nombres premiers ou en puissances de nombres premiers, tous les autres signes typographiques sont exclus, notamment les séparateurs. Goedel ne donne pas d'exemple de cette formulation, cependant il semble plausible qu'elle inclue des séquences de la forme 'f(a) ou f(b)' qui, une fois traduite, donnerait la séquence arithmétique '3 p[a]x 7 3 p[b]y', x et y étant les types des variables a et b représentées quant à elles par les nombres premiers p[a] et p[b].

Ceci étant, il est possible que le système génère une variable a, qui une fois arithmétisée, donne un nombre qui se termine par 73 et dont la première partie - avant 73 - soit également un nombre premier, disons p[c], porté à une certaine puissance u. De même il est possible que 73 accolé à p[b]y fournisse aussi un nombre premier p[d] porté à une puissance v. On aurait alors:

p[a]x = p[c]u73 ,
73p[b]y = p[d]v ,

pour peu que c et d soient déjà définies dans le système, la séquence contiendrait les deux sens suivants:

'f(a) ou f(b)', 'f(c) ou f(d)';

par exemple dans la séquence 3197373529:

p[a]1 = 1973 ,
p[b]2 = 232 = 529 ,
p[c]1 = 19 ,
p[d]1 = 73529
.

Dans l'article de 1934, Goedel utilise un codage différent, mais a priori on ne voit pas pourquoi il ne pourrait se trouver des expressions ambiguës de la sorte, quelle que soit la séquence figurant entre (voire chevauchant) les puissances de nombres premiers. Ce fait n'a pas de conséquence directe sur la preuve parce qu'en fin de compte toute expression se trouve multiplier la suivante si bien qu'une preuve complète, voire un système, se trouve réduit à un seul grand nombre sur lequel les opérations possibles détermineront un sens; en revanche cette polysémie exclut que le système ainsi constitué puisse tenir lieu de calcul puisque, par définition, il n'inclut aucun séparateur non numérique qui permettrait d'éviter les ambiguités apparaissant en cours d'utilisation. L'image numérique de la logique ne peut donc être première; mais d'autre part aucun dispositif syntaxique autorisant sa production n'existe dans les Principia, et l'on peut même se demander si un tel dispositif, le cas échéant, pourrait être compatible avec les principes de l'atomisme logique .


© Emmanuel Rens, Genève, 2002-2005. home