Le dodécaphonisme comme outil d'analyse

Jérôme Palfi et Emmanuel Rens
Genève, février 2008 (rév. octobre 2008)



La théorie de la consonance

Depuis Rameau il existe un modèle physique de la consonance qui tente d'expliquer pourquoi nous éprouvons des sentiments de tension et d'apaisement à l'écoute de certaines suites de sons. Selon ce modèle, les intervalles qui nous sont mal connus sonnent comme des tensions et les intervalles familiers apparaissent comme des résolutions. Tout intervalle est représenté dans n'importe quel son par les harmoniques dont ce son est composé. Les harmoniques les plus audibles étant les plus proches du son fondamental, les intervalles qu'ils constituent avec celui-ci nous semblent plus naturels et plus rassurants parce que nous les entendons plus facilement que les autres(1). Bien qu'au mieux incomplet(2) ce modèle d'explication est compatible avec une compréhension phénoménologique du monde où le son peut être considéré comme un phénomène primordial que le musicien exprime dans le temps en l'ordonnant selon certains de ses aspects(3).

Les sons harmoniques ne sont pas distribués aléatoirement mais selon une structure fixe où la fréquence de base est multipliée par l'ensemble des entiers dans le bon ordre du point de vue de la perception. Faire de la musique revient à exprimer certains caractères de cette structure. Sur cette base, l'acte décisif de Schoenberg a été de proposer un autre ordre, de se demander en somme ce qui adviendrait si les intervalles de référence étaient répartis différemment. C'est la naissance de la série dodécaphonique. Celle-ci ne doit pas être considérée comme une mélodie en soi - bien qu'elle ait secondairement cette qualité - mais comme un préalable à une expression musicale chaque fois nouvelle où les valeurs habituelles sont permutées selon le propos du compositeur. Ces notions d'ordre et de permutation révèlent une certaine bivalence entre la note et son indice d'apparition dans le temps.

Du fait de la substitution indirecte de la série à la suite naturelle des harmoniques, la théorie dodécaphonique avait en son principe vocation à générer une méthode d'analyse qui dépasse et comprenne l'analyse classique. Le pas n'a pas été franchi en raison notamment des limitations compositionnelles introduites dans les débuts, qui consistaient principalement en l'interdit portant sur les répétitions de notes et le choix plus ou moins justifié des instances de la série utilisées dans une composition (Fig. 2): le renversement, la récurrence et la récurrence du renversement. Les séries constituent pourtant un ensemble de permutations diversement caractérisables dont les particularités devraient pouvoir alimenter la théorie musicale en retour - même si le dodécaphonisme strict est aujourd'hui mort et enterré.

Pierre Boulez a suggéré de classer les séries selon leur contenu en termes d'intervalles(4). C'est une piste différente qui a été choisie dès le mileu du vingtième siècle par Milton Babbitt dans l'analyse de la combinatoire hexacordale de Schoenberg qu'il finit par définir comme élément d'un système permutationnel(5). Plutôt que de traiter directement les 12! séries de 12 sons, Babbitt s'attaque aux combinaisons de sons à l'intérieur de la série. Ses découvertes sont fondées sur la notion même de permutation. C'est dans cette optique mais en considérant les relations entre séries de l'extérieur que nous allons aborder le système des permutations de 12 sons. Cette plus grande généralité nous laissera espérer un dépassement de l'analyse dodécaphonique stricte.

Série naturelle

Désignons par S(n) l'ensemble des séries s de cardinalité n, n entier, et par sn la série naturelle (1,2,…,n) - nous appliquons ici la notation standard de parenthèses simples (...,…,…) pour un ensemble ordonné et d'accolades {…,…,…} pour un ensemble non-ordonné.

Permutation,bijection

Chaque série s élément de S(n) correspond à une bijection de N(n) = {1, 2, …, n} sur N(n), c'est-à-dire à une permutation p des éléments de N(n) :

Soit la série s = (s[1], s[2], …, s[n]) élément de S(n), elle correspond de manière univoque à la permutation p : N(n) -> N(n), avec p(j) = s[j], c'est-à-dire s = p(sn), l'image de la série naturelle par la permutation p.

Par exemple, la série s = (3,1,2) élément de S(3) correspond à la permutation p : N(3) -> N(3) avec p(1) = 3, p(2) = 1 et p(3) = 2.

Par souci de ne pas alourdir la notation à l'excès, nous écrivons ici p(s) pour (p(s[1]), …, p(s[n])), avec s série de S(n) et p permutation de N(n), de même que p(A) pour {p(a), a élément de A}, et p(q) pour la permutation p(q) sur N(n) avec p(q)(i) = p(q(i)) pour tout i élément de N(n).(6)

Identité, puissance d'une permutation

Soit la permutation p : N(n) -> N(n), et désignons par id l'identité sur N(n), avec id(j) = j pour tout j élément de N(n), de même que par p^m, m entier, la m-ième puissance de la permutation p, c'est-à-dire la permutation p appliquée m fois de suite :

p^1 = p, p^2 = p(p), p^0 = id, p^-1 = l'inverse de p, avec p(p^-1) = id.

Pour tous les entiers r et s, on a p^r (p^s) = p^(r + s). Il en découle:

a) p^r(p^s) = p^s(p^r), c'est-à-dire la commutativité des puissances de p.

b) p(p^-1) = p^1(p^-1) = p^(1-1) = p^0 = id, ce qui justifie l'écriture p^-1 pour l'inverse de p.

De même on a (p^r)^s = p^(r x s) , et donc (p^r)^s = (p^s)^r .

Degré d'une permutation et de la série correspondante

Soit deg(p), le degré de p, le plus petit entier d > 0 avec p^d = id, et désignons par deg(s), degré de la série s, le degré de la permutation p avec s = p(sn).

Remarque: de p^deg(p) = id = p^0, il découle p^-1 = p^(0-1) = p^(deg(p) - 1)

Exemples:

deg(1,2) = deg(1,2,3) = deg(1,2,3,4) = deg(id) = 1;

deg(2,1) = deg(2,1,3) = deg(1,3,2) = deg(3,2,1) = deg(2,1,3,4) = deg(2,1,4,3) = 2 : permutations par paires;

deg(3,1,2) = deg(2,3,1) = deg (3,1,2,4) = 3 : permutations par triplets;

deg(2,3,1,5,4) = 6 : permutations par paire et triplet;

deg(2,3,4,5,1,7,6) = 10 : permutations par paire et quintet;

Suite graduelle

Soit s élément de S(n), p la permutation définie par s = p(sn) et d le degré de p.

Nous appellerons suite graduelle l'ensemble de d séries {p(sn) = s, p^2(sn), … , p^d(sn) = sn}.

Partition élémentaire, type

Soit la permutation p de N(n). Nous nommerons partition de N(n) par p un ensemble de sous-ensembles non-vides disjoints {U1,…, Ui} de N(n) dont l'union est égale à N(n) et invariants par p, c'est-à-dire tels que p(Uj) = Uj pour tout j élément de {1, … , i}. Nous appellerons la partition de N(n) par p {U1,…, Ui} partition élémentaire de N(n) par p, désignée PE(p) s'il n'existe par de partition {V1,…, Vj} de N(n) par p avec j > i.

Il est possible de construire la partition élémentaire de N(n) par p en appliquant les puissances de p sur chaque élément de N(n): PE(p) = {{p^j(i) ; j = 1,…, n} ; i = 1,…,n}

Exemples de partitions élémentaires, en désignant une permutaion p par la série s = p(sn) :

PE((1,2,3)) = {{1},{2},{3}}, PE((3,1,2)) = {{1,2,3}}, PE((2,1,3)) = {{1,2},{3}}.

On désignera le type d'une partition élémentaire{U1,…, Ui} de N(n) par p par la série du nombre d'occurrences des cardinalités des éléments de {U1,…, Ui}, par ordre de cardinalité croissante de 1 à n.(7)

Le type (1,0,2,0,1,0,0,0,0,0,0,0) correspond ainsi à une partition de N(12) en un sous-ensemble de cardinalité un, deux sous-ensembles de cardinalité trois et un sous-ensemble de cardinalité cinq. Pour les partitions de N(3), on a les types (3,0,0), (1,1,0) et (0,0,1), pour celles de N(4), les types (4,0,0,0), (2,1,0,0), (1,0,1,0), (0,2,0,0) et (0,0,0,1), etc.

Désignons par ¦ E ¦ la cardinalité d'un ensemble E (= le nombre d'éléments de E). On montre aisément que le degré d'une permutation est égal au plus petit commun multiple (ppcm) des cardinalités des éléments de la partition élémentaire qu'elle définit :

deg (p) = ppcm { ¦ Uj ¦ ; j = 1,…,i}, avec {U1,…, Ui} = PE (p)

Transformée, commutativité

En règle générale, les permutations ne sont pas commutatives - le résultat de leur composition dépend de l'ordre de leur application:

Considérons les deux permutations p et q sur N(3) représentées par les séries p(sn) = (2,1,3) et q (sn) = (1,3,2) ; on a p(q(sn)) = p(1,3,2) = (2,3,1), tandis que q(p(sn)) = q(2,1,3) = (3,1,2).

Soit p, q et r permutations sur N(n), telles que p(q) = q(r). On a r = q^-1(p(q)).

Appelons q^-1 (p(q)) la transformée de p par q, notée Tq(p).

Pour toutes permutations p, q, r sur N(n), on a Tr(p) ( Tr(q)) = Tr(p(q)) :

la transformée d'une composition est égale à la composition des transformées.

De même , on a Tr(id) = id.

Il en découle deg (Tr(p)) = deg (p).

Enfin, il s'avère que l'ensemble des transformées d'une permutation p de N(n) est égal à l'ensemble des permutations de N(n) de même type que p.

Base de permutations

Nous définirons comme base de permutation de N(n) un sous-ensemble de cardinalité minimale des n! permutations de N(n) tel que toute permutation p de N(n) soit exprimable comme composition des permutations de la base. De l'exigence de cardinalité minimale, il découle qu'aucun élément d'une base de permutations n'est égal à la composition des autres éléments de la même base.

Par exemple, l'ensemble des n-1 "permutations de voisins" constitue une base de permutations de N(n) : {(2,1,3,4), (1,3,2,4), (1,2,4,3)} est une base des 4! = 24 permutations de N(4).

Les instances schoenbergiennes : l'Inverse et la Renversée

Nous avons choisi de ne pas souscrire ici aux appellations usuelles des séries dodécaphoniques : le renversement, la récurrence et la récurrence du renversement, que nous nommerons ici respectivement Inverse, Renversée, Opposée (avec des majuscules distinctives).

L'Inverse d'une série au sens schoenbergien permute chaque élément j d'une série s de S(12) sur (2(s[1])-j-1)mod(12)+1 (où mod 12 désigne le reste entier de la division par 12). Si on choisit de positionner l'axe d'inversion sur une note k qui n'est pas nécessairement la première note de la série, et de partir de l'indice 0 au lieu de 1 en travaillant dans une base b qui n'est pas nécessairement dodécaphonique, l'Inverse devient (2k-j)mod(b).

La Renversée schoenbergienne renverse l'ordre des éléments d'une série.

Si au lieu d'écrire une série comme ensemble ordonné (s1, …, s12), on l'exprime sous forme d'un ensemble non-ordonné de paires d'éléments { (a1, s1), … , (a12, s12)}, avec aj l'emplacement de sj dans la série, on voit que la Renversée agit sur la première composante de chaque paire selon la règle : renversée ((aj , sj)) = (12 - aj , sj).

Renversée et Inverse agissant sur des ensembles disjoints, elles sont commutatives : l'Inverse de la Renversée est égale à la Renversée de l'Inverse.

L'Inverse définit une permutation de notes, la Renversée une permutation d'ordre. Dans ce sens, nous n'avons décrit dans les précédents paragraphes que des permutations de notes. Ainsi, la Renversée, comme toute autre permutation d'ordre, commute avec toute permutation de note, c'est-à-dire toute permutation p définie par la série s = p(sn). Par exemple, on a Renversée(p(sn)) = p(Renversée(sn)).

L'idée de référentiel

Le système tempéré constitue une mise en ordre fixe de la série des harmoniques (calibrage modulo 12, suppression des répétitions, bon ordre). Le dodécaphonisme strict de Schoenberg propose - au moins implicitement - de substituer la série à cette mise en ordre, ce qui équivaut à modifier l'ordre des harmoniques sous-jacent. De la sorte l'oreille sera soumise non plus comme dans la musique tonale aux premiers intervalles de la suite des harmoniques mais à ceux que cette suite définit plus tard et que l'on a moins l'habitude de percevoir. C'est ce que l'on appelle un changement de référentiel. On voudrait que les instances schoenbergiennes de la série obtiennent un statut déterminé dans le système des permutations, ce qui n'est pas le cas si l'on garde la gamme chromatique comme référentiel. Les suites graduelles définies plus haut en fonction de la nature permutationnelle de la série pourraient apporter une solution à ce problème. La relation entre les instances schoenbergiennes et les suites graduelles définit des sous-ensembles très réduits de séries privilégiées parmi les 12! permutations dodécaphoniques. Ainsi aucune suite (dans aucune base jusqu'à 12 incluse) ne contient plus d'une instance schoenbergienne à la fois. En base 12 il n'y a en tout que 7540 suites graduelles contenant l'une d'elles et parmi ces suites, 7065 contiennent la Renversée, 465 l'Inverse et seulement 10 contiennent l'Opposée. Cependant les suites graduelles ne détiennent pas une stabilité suffisante d'un point de vue musical. En effet, si la série est transposée, la suite et le degré correspondants à la transposition sont différents de ceux de la série originelle.

En définissant une projection map()(8) qui donne la position des notes d'une série dans une autre et en mappant la série sur elle-même on obtient un référentiel mappé, c'est-à-dire que les degrés de la série naturelle ne renvoient plus aux fréquences de la suite harmonique selon le même mode, mais selon celui que définit la série(9). Avec cette projection sur la même série source, trois instances schoenbergiennes acquièrent le statut que l'on recherchait grâce à un degré et un type fixes. La série et la renversée mappées sont uniques (degrés 1 et 2), les Inverses se réduisent à un ensemble de 10395 séries de degré 2 (Fig 3). Le degré de l'Opposée mappée, pair plus petit que 13, montre que du point de vue dodécaphonique, il n'existe qu'une seule suite graduelle utile(10) par série.

Ce procédé rend l'univers autoréférentiel issu de la technique des 12 sons à la fois cohérent d'un point de vue mathématique et musicalement stable, puisque la suite graduelle issue de l'Opposée mappée reste la même lors de la transposition de la série originelle et que son démappage en génère la transposition. Cette suite peut donc prétendre à figurer dans l'arsenal formel dodécaphonique au même titre que les instances schoenbergiennes. Elle est logiquement antérieure aux séries dites dérivées introduites par Alban Berg et ajoute jusqu'à 10 instances de la série à l'ensemble utile pour le compositeur.

On a vu que chaque suite graduelle comprend 2 séries inutiles: la série source et la gamme chromatique qui est l'aboutissement de la suite. Sur les 10395 mappages possibles d'Opposées, 81 sont de degré 2 et ne donnent donc pas lieu à une suite graduelle enrichissante, 970 sont de degré 4, 1440 de degré 6 et autant de degré 8, 2304 sont de degré 10 et 4160 de degré 12. Ces considérations nous permettent tout d'abord de réduire les 12! séries à un ensemble de 11! car il n'y a plus que 12!/12 séries lorsqu'on a réduit à 1 les 12 transpositions de la même série. Sur ces 11! séries restantes (environ 39 millions), on peut alors dresser un ensemble de 6 familles de séries dodécaphoniques dont la première donne seulement accès aux 4 instances schoenbergiennes, la seconde à 6 séries (les 4 instances schoenbergiennes et la suite graduelle de degré 4 moins les 2 séries inutiles), la 3ème à 8 séries, la 4ème à 10, la 5ème à 12 et la dernière à 14 séries(11). La Suite pour piano op. 25 de Schoenberg par exemple, utilise une série de la deuxième famille, c'est-à-dire qu'en faisant appel à la suite graduelle de son Opposée, Schoenberg aurait pu recourir à 2 instances supplémentaires (voir Fig.1). Avec les suites graduelles on peut construire une sorte de modulation dodécaphonique en se servant d'une instance commune à deux suites comme point de passage.

Extension à la tonalité

Dans un article(12) de 1955, le musicologue Hans Keller démontre que plusieurs musiciens classiques, particulièrement Mozart, ont fait usage de la série. Keller affirme que pour prendre conscience de ce fait, il faut se départir du panchromatisme inhérent à la technique des douze sons. L'approche permutationnelle esquissée ici permet de rendre compte non seulement du dodécaphonisme mais aussi des compositions sérielles de bases différentes. La méthode pourrait même être développée afin de devenir applicable à toute musique faisant appel à des échelles de sons, car les séries sont susceptibles d'être liées par d'autres relations de transformation progressives ou simultanées que leur appréhension sous forme de permutations laisse envisager.


Figures(13)

Fig.1 La suite graduelle démappée générée par l'Opposée de la série de la Suite pour piano op. 25 d'Arnold Schoenberg : la dernière série est le référentiel de l'oeuvre. On a mappé l'Opposée sur la série, puis on a fait la suite graduelle de cette nouvelle série et enfin on a démappé chacune des séries de cette suite sur la série originale. Dans une suite graduelle normale, la dernière permutation est la gamme chromatique mais ici c'est la série sur laquelle est construite l'oeuvre, ce qui montre qu'elle sert de référentiel au sens permutationnel pour cette suite graduelle.



Série

Renversée

Inverse

Opposée

Instance

45716382B09A

A90B28361754

4317250698BA

AB8960527134

Degré

42

12

14

9

Type

011000100000

000000000001

120000100000

001000001000

Fig.2 Attributs de la série 45716382B09A et de ses instances.



Série

Renversée

Inverse

Opposée

Instance

0123456789AB

BA9876543210

05327194A68B

B86A49172350

Degré

1

2

2

4

Type

C00000000000

060000000000

250000000000

210200000000

Fig.3 Mappage de la série 45716382B09A et de ses instances (sur fond gris : les attributs communs à toute instance mappée sur sa série source).



Notes:

(1)  "The consonances are [accordingly] the first overtones, and they are the more nearly perfect the closer they lie to the fundamental." Arnold Schoenberg, Theory of Harmony, Vienne 1911, Berkeley 1978.

(2)  Pourquoi la consonance de sixte majeure - même comme renversement - survient-elle si loin de la fondamentale? Pour une théorie de la consonance qui échappe à cette difficulté, voir par exemple Ernest Ansermet, Les fondements de la musique dans la conscience humaine, Neuchâtel, 1961.

(3)  "Voici le principe qui sous-tend toute mon attitude de compositeur: considérer à une grande échelle ce qui se passe à très petite échelle, à l'intérieur d'un son.", Jonathan Cott, Karlheinz Stockhausen, Conversations avec Stockhausen, Lattès, Paris 1971,

(4)  "La série n'est pas un ordre de succession, mais bien une hiérarchie - qui peut être indépendante de cet ordre de succession. C'est en ce sens que des régions harmoniques - utilisant les mêmes rapports d'intervalles - sont capables, par exemple, à l'intérieur d'un certain nombre de transpositions, de grouper les séries en familles.", P. Boulez (1954), cité par Robert Piencikowski in "Pierre Boulez, techniques d'écritures et enjeux esthétiques", édité par Jean-Louis Leleu et Pascal Decroupet, éd. Contrechamps, Genève 2006.

(5)  "Schoenberg [...] established the means of a permutational musical system, as opposed to the combinatorial systems of the past.", Milton Babbitt, "Twelve tone invariants as compositional determinants", 1960, in "The Collected Essays of Milton Babbitt", Stephen Peles ed., Princeton University Press, 2003.

(6)  Pour toutes permutations p et q générant respectivement les séries r et s, la composition p(q) donnant la série t, on a: t[j] = r[s[j]]. Cet état de choses exemplifie la bivalence dodécaphonique note-indice et facilite le traitement informatique des permutations.

(7)  En plus du référentiel, il existe 22 degrés en base 12 répartis entre 2 et 60. Le plus peuplé est le degré 12 avec 80166240 séries et le moins peuplé le degré 2 avec 140151 séries. Parmi les 77 types différents, le nombre de séries par type augmente plus ou moins régulièrement de 1 à 11! .

(8)  map(p,s) = s^-1(p). Voici un code C explicite pour map() avec des séries de base 10:

for ( i=0; i<10; i++ ) { n=0; while (n<10) { if ( p[n] == s[i] ) break; n++; } map[i]=n; }

(9)  L'ordre factoriel d'apparition des harmoniques (par exemple do, sol ,mi, la#, ré, fa#, sol#, si, do#, ré#, fa, la) fait que la projection d'une musique tonale donnée sur la série "185B379C246A" permet de constater sur le papier l'éloignement harmonique des notes de cette musique par rapport à sa tonalité.

(10)  En effet, bien qu'il n'y ait que 10395 Opposées mappées, lorsqu'on démappe les éléments de leurs suites sur la série source on retrouve la variété des 12!. Le mappage n'a pas de sens sans l'opération inverse, à savoir s(p^-1), qui rétablit la spécificité de chaque série.

(11)  Avec 3840 séries par ensemble de transpositions d'Opposée mappée, ces 6 familles représentent particulièrement 311'040 + 3'724'800 + 5'529'600 + 5'529'600 + 8'847'360 + 15'974'400 = 11! séries.

(12)  Hans Keller, "Strict serial technique in classical music", Tempo, 37:12-24 (Autumn 1955).

(13)  En raison de leur traitement informatique les notes sont écrites ici à partir de 0 et non 1.


© Jérôme Palfi et Emmanuel Rens Genève, février-octobre 2008. home