La representación permutacional de los números

Emmanuel Rens
Ginebra, noviembre 2010



La representación permutacional de los números es una representación única de cada entero. Las permutaciones de elementos distintos - las cuales se pueden también llamar permutaciones naturales - requieren, cuando esos elementos son números, tantas cifras como en la base numérica en la cual se expresan estos números. El número 27 por ejemplo tiene una representación permutacional propia, o adecuada, en la base 4 porque se expresa como 123, o más bien como 0123, y utiliza todas las cifras en esta base. No hay ninguna otra base en la cual este fenómeno se reproduzca para el número 27. Así sabemos que mientras  manejamos las permutaciones de las cifras de base 4, encontraremos el número 27 tarde o temprano. Decidimos pués nombrar Pnat[b] este conjunto de todas las permutaciones de cifras distintas en una base b. Pero por supuesto este conjunto es lagunoso; por ejemplo, la más pequeña permutación de base 4 más grande que 0123 es 0132 cuyo valor es 30 (en base 10). Hay aquí un vacío de 3 números que  no se puede llenar por ninguna permutación de elementos distintos; esta es la razón por la cual aparece necesario incluir permutaciones con elementos no-distintos si uno desea obtener una representación permutacional para cada uno de los números enteros.

¿Cómo garantizar una representación permutacional única?

La primera medida que hay que tomar hacia permutaciones con elementos no-distintos es mirarlos como extensiones de permutaciones de elementos distintos. Así trabajaremos en las bases fijas que determinarán las gamas de números tratados. De hecho, las funciones que nos permiten manejar permutaciones con elementos no-distintos son las mismas que las que nos permitieron manejar elementos distintos, salvo que a contar de este momento algunas de sus acciones permanecen sin efecto. Es por ejemplo ineficaz permutar las dos ultimas cifras del número 0122.

Se observa entonces que, por una base dada, entre todas las permutaciones con elementos no-distintos, hay siempre un número más pequeño y un número más grande. En la base 4 estos números son 0000 (valor 0) y 3333 (de valor 255 en base 10). Todas nuestras representaciones permutacionales en base 4 aparecerán entre estos dos términos. Sin embargo, como las representaciones permutacionales de números de base 3 comienzan con el valor 0 y acaban con 222 (valor 26), notamos un traslapo de estos conjuntos. Así, aplicando un principio de economía, estamos llevados a decidir que el conjunto de representaciones permutacionales adecuadas para una base dada, tiene que comenzar por el valor siguiendo la permutación más grande con elementos no-distintos de la base inmediatamente inferior, y acabar por la permutación más grande con elementos no-distintos de su base propia. En base 4 este conjunto se extiende entonces a partir de 0123 hasta 3333, es decir del entero 27 al entero 255 en base 10.

Podemos nombrar Permin el término más bajo y Permax el más alto para un conjunto dado de representaciones permutacionales. Uno llega de esta manera a una sola representación permutacional para cada entero. Esta representación se puede entonces llamar representación permutacional propia, o adecuada, para distinguirla de las representaciones permutacionales válidas que no obedecen al principio de economía, como las representaciones permutacionales de números desde 0 hasta 26 que hemos visto en base 4, por ejemplo. El conjunto total de representaciones permutacionales adecuadas, en una base dada b, se llamará Pad[b].

¿Cómo clasificar las permutaciones con elementos no-distintos?

Puesto que podemos asignar cada número entero a su conjunto permutacional propio, sabemos en qué base expresarlo. Queda entonces la dificultad de construir este conjunto mediante funciones apropiadas. De hecho, deseamos obtener un conjunto permutacional en el sentido funcional y no una colección de permutaciones. Parece necesario entonces que tengamos funciones que permitan producir este conjunto sin recurso a la aritmética. No queremos tomar el Permin por ejemplo y añadirle iterativamente uno hasta la obtención de su Permax. Pero queremos modificar el conjunto de cifras del Permin para obtener el Permax. Desde este punto de vista deseamos saber en primer lugar cómo se construye Pad[b]. Su característica importante como conjunto de permutaciones de elementos que no están siempre distintos, es que esta particularidad de no-distinción se puede expresar de diversas maneras. Así en un número de la base 4, podemos tener 4 elementos distintos, o 2 similares y 2 distintos, o 3 similares y 1 distinto, o  elementos similares 2 por 2, o aún 4 elementos similares.  Son por lo tanto cinco maneras de elegir elementos distintos entre otros elementos. Estas diversas maneras de producir un conjunto se llaman particiones y constituyen la primera característica que conservaremos para la clasificación de las representaciones permutacionales de números.

Ahora que tenemos estas particiones, parece que podemos progresar ya un poco. Tomando por ejemplo aquella primera partición donde son distintas las 4 cifras y, permutando estas cifras, se obtiene un subconjunto de Pad[4], que es identico a Pnat[4]. Si tomamos la segunda partición que mencionemos, las cosas llegan a ser más complicadas puesto que esta contiene dos elementos similares y dos distintos; aquí se utilizarán solo 3 dígitos en los 4 de nuestra base y será necesario elegirlos antes de poder permutarlos. Para estas 3 cifras las combinaciones posibles son:

(0012, 0013, 0023, 1102, 1103, 1123, 2201, 2203, 2213, 3301, 3302, 3312)

que juntas hacen 12 posibilidades. Cada partición se puede expresar en un cierto número de combinaciones de este tipo.

Vemos ahora que crear el subconjunto de permutaciones para cada combinacíon de cada partición produce el conjunto Pad[b] que buscábamos. Tanto las particiones como las combinaciones y las permutaciones se pueden representar con permutaciones pertenecientes a Pad[b], de manera que estas funciones describan una relación y una orden. Durante esta investigación obtuvimos así un resultado adicional inesperado: la representación permutacional de números se puede expresar adecuadamente en un gráfico con 3 dimensiones. De hecho, nuestros 3 parámetros describen los 3 ejes de un grafíco como lo muestran las siguientes imágenes representando la función de successor entre los 26 enteros permutacionales de base 3:

 

 

 




© Emmanuel Rens, Ginebra, noviembre 2010. home top