La Représentation permutationnelle des nombres

Emmanuel Rens
Genève, novembre 2010



La représentation permutationnelle des nombres est une représentation unique de tout nombre entier. En effet, les permutations d'éléments distincts - qu'on peut aussi appeler permutations naturelles - requièrent qu'il y ait - quand il s'agit d'un nombre - autant de chiffres que la base dans laquelle le nombre est exprimé, ainsi le nombre 27 a une représentation permutationnelle adéquate - ou propre - en base 4 car il y est exprimé 123 ou plutôt 0123 et utilise tous les chiffres de la base. Il n'y a aucune autre base dans laquelle se phénomène se reproduise pour le nombre 27. L'avantage ici c'est que l'on sait désormais qu'en manipulant les permutations des chiffres de la base 4 on tombera à un moment ou un autre sur le nombre 27. On décide de nommer Pnat[b] cet ensemble de toutes les permutations de chiffres distincts dans une base b. Mais bien sûr cet ensemble est très lacunaire, par exemple, la plus petite permutation supérieure à 0123 est 0132 dont la valeur est 30 en base 10. On a ici un trou de 3 nombres qui ne peut être comblé par aucune permutation d'éléments distincts, c'est pourquoi il s'avère nécessaire d'introduire les permutations avec éléments non distincts si l'on souhaite obtenir une représentation permutationnelle unique des nombres.

Comment s'assurer d'une représentation permutationnelle unique?

La première mesure à prendre à l'endroit des permutations avec éléments non distincts est de les considérer comme des extensions de permutations d'éléments distincts. Ainsi nous travaillerons dans des bases fixes qui détermineront la gamme de nombres traités. En effet, les fonctions qui nous permettent de manipuler des permutations avec éléments non distincts sont les mêmes que celles qui nous permettaient de manipuler des éléments distincts, sauf que désormais certaines de leurs actions restent sans effet. Il est par exemple sans effet de permuter les 2 derniers chiffres du nombre 0122.

On observe ensuite que parmi toutes les permutations avec éléments non distincts d'une base donnée, il y a toujours un plus petit nombre et un plus grand nombre. En base 4 ces nombres sont 0000 de valeur 0 et 3333 de valeur 255 (en base 10). On sait désormais que toutes nos représentations permutationnelles se situeront pour la base 4 entre ces deux extrêmes. Toutefois, on comprend qu'il y aient aussi des représentations permutationnelles de nombres en base 3 qui eux aussi commencent à la valeur 0 mais terminent au nombre 222, de valeur 26. Incidemment on remarque que le plus grand nombre permutationnel avec éléments non distincts de base 3 précède immédiatement le plus petit nombre permutationnel d'éléments distincts de la base 4. 222[b3] = 0123[b4] - 1. Ceci n'est pas le cas dans toutes les bases. Bien sûr on pourrait exprimer 26 en tant que nombre permutationnel de base 4, mais comme il est aussi présent en base 3 on se trouverait avec deux représentations permutationnelles, alors par principe d'économie on décide que les ensembles de représentations permutationnelles adéquates des nombres débutent toujours  au nombre qui suit la plus grande permutation avec éléments non distincts de la base immédiatement inférieure. Le même ensemble termine avec la plus grande permutation avec éléments non distincts pour sa base. En base 4 on a donc la fourchette 0123-3333 c'est-à-dire les valeurs 27 à 255.

On décide de nommer le terme inférieur le Permin et le terme supérieur le Permax d'un ensemble de représentations permutationnelles donné. On se trouve donc avec une représentation permutationnelle unique pour chaque nombre dans N, qu'on appelle représentation permutationnelle propre, ou adéquate, afin de la distinguer des représentations permutationnelle valides mais n'obéissant pas au principe d'économie, comme celle des nombres de 0 à 26 en base 4. On décide de nommer Pad[b] l'ensemble des représentations permutationnelles adéquates d'une base donnée b.

Comment classer les permutations avec éléments non distincts?

Dès lors que nous pouvons attribuer chaque nombre à son ensemble permutationnel propre, nous savons dans quelle base l'exprimer. Reste ensuite la difficulté de parvenir à construire cet ensemble au moyen de fonctions appropriées. En effet, nous souhaitons obtenir un ensemble permutationnel au sens fonctionnel et pas seulement une collection de permutations, il faut donc que nous disposions de fonctions qui permettent de produire cet ensemble sans faire appel à l'arithmétique. Il ne nous est donc pas utile de prendre le Permin par exemple et de lui additionner itérativement un jusqu'à l'obtention du Permax. Nous voulons modifier l'ensemble des chiffres de Permin un certain nombre de fois de manière à obtenir le Permax. Dans cette perspective, il nous faut tout d'abord savoir de quelles manières se construit notre ensemble Pad[b]. Sa caractéristique majeure en tant qu'ensemble de permutations d'éléments qui ne sont pas toujours distincts, est que cette indistinction peut s'exprimer de différentes manières. Ainsi dans un nombre de base 4, nous pouvons avoir 4 éléments distincts ou 2 semblables et 2 distincts, ou 3 semblables et 1 distinct, ou 2 fois 2 semblables ou encore 4 éléments semblables. En tout 5 manières de rencontrer des éléments distincts parmi d'autres éléments. Ces différentes manières de répartir un ensemble s'appellent les partitions de l'ensemble et ce sera la première caractéristique que nous retiendrons pour la classification des représentations permutationnelles de nombres.

Maintenant que nous avons ces partitions, il semble que nous puissions déjà avancer un peu. En prenant par exemple la première d'entre elles où les 4 éléments sont distincts et en permutant ses éléments, on obtient un sous-ensemble de Pad[4], qui est justement Pnat[4]. Si nous prenons la deuxième partition que nous avons mentionnée les choses se compliquent un petit peu toutefois car comme elle contient 2 éléments semblables et 2 distincts, seuls 3 chiffres seront utilisés sur les 4 de notre base et il faudra choisir lesquels avant de pouvoir les faire permuter. Pour ces 3 chiffres les combinaisons possibles sont:

(0012, 0013, 0023, 1102, 1103, 1123, 2201, 2203, 2213, 3301, 3302, 3312)

ce qui donne 12 possibilités de choix de chiffres. Chaque partition est susceptible d'être exprimée par un certain nombre de combinaisons de ce type .

Enfin, si pour chaque combinaison de chaque partition l'on produit l'ensemble de ses permutations on obtient Pad[b] que nous recherchions. Partitions, combinaisons et permutations peuvent toutes être représentées (cf. note 1) par des permutations appartenant à Pad[b], en conséquence ces fonctions définissent une relation et un ordre à partir de l'intérieur de l'ensemble. Au cours de cette recherche nous avons donc obtenu un résultat supplémentaire et inattendu: la représentation permutationnelle des nombres est susceptible d'être exprimée adéquatement sur un graphique à 3 dimensions. En effet, ces 3 paramètres peuvent être considérés comme les 3 axes de ce graphique qu'illustrent les images suivantes représentant la fonction de successeur parmi les 26 entiers permutationnels de base 3:

Notes:

note 1: Une partition avec 2 éléments distincts et 2 éléments semblables sera représentée par exemple en tirant parti des indices des chiffres par le nombre 2100, signifiant 2 éléments à 1 chiffre semblable (à lui même donc distinct), un élément à 2 chiffres semblables, 0 élément à 3 chiffres semblables et 0 élément à 4 chiffres semblables. 2100 est bien entendu une permutation dans Pad[b].

 

 

 




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